Poprzedzony kilkoma singlami i remiksami debiutancki album „Yesterday Was Dramatic - Today Is OK” został wydany w 2000 roku. Wszyscy członkowie zespołu byli wówczas wciąż jeszcze nastolatkami, przepełnionymi radością tworzenia muzyki i kreatywnym wykorzystaniem przedmiotów nie zawsze pierwotnie przeznaczonych do gry. W 2001 roku nakładem wytwórni Morr Music ukazał się krążek - „Please Smile My Noise Bleed”, będący kompilacją remiksów elektronicznych formacji takich jak Isan czy Arovane.
Kolejny rok przyniósł drugie regularne, długogrające wydawnictwo - płytę „Finally We Are No One”. Przy okazji amerykańskiej trasy promującej ten właśnie krążek z zespołu zdecydowała się odejść jedna z sióstr Valtýsdóttir - Gyða, aby skoncentrować się na swoich studiach.
Na europejską trasę Ásthildur zastąpiła bliźniaczkę na wokalu, a przy wiolonczeli jej obowiązki przejęła Serena Tideman. Skład grupy został powiększony o dwie kolejne osoby, Ólöfa Arnaldsa i Hildurę Guðnadóttir
Następny krążek - „Summer Make Good”, który trafił na sklepowe półki na wiosnę 2004 roku, kontynuował trend organicznego, surowego brzmienia, spotykanego na poprzednich albumach, jednak tworzył mroczniejszą, bardziej teatralną atmosferę. Przez kolejne dwa lata Múm głownie koncertowali, a w 2005 roku wystąpili z holenderską Kameralną Orkiestrą Narodową na festiwalu w Amsterdamie, w utworze zainspirowanym twórczością kompozytora Iannisa Xenakisa.
Na początku 2006 roku formację opuściła druga z bliźniaczek, Kristín Anna Valtýsdóttir. Fakt ten długo trzymany był w tajemnicy, oficjalnie ogłoszono go dopiero w listopadzie. Mimo licznych zmian personalnych Múm wrócili do studia i w 2007 roku wydali kolejną płytę - „Go Go Smear the Poison Ivy”. Krążek ten jest łagodniejszy i pogodniejszy od poprzednich wydawnictw, do tego najbardziej ze wszystkich przystępny – co spowodowało, że muzyka Múm dotarła do szerszej publiczności. Grupa odbyła dwie identyczne pod względem setlisty trasy promujące „Go Go Smear the Poison Ivy”. Podczas koncertów na wschodnim wybrzeżu Stanów Zjednoczonych formacja wystąpiła u boku Hauschki, jednego z najznakomitszych przedstawicieli niemieckiej sceny nowoczesnej muzyki elektronicznej.
W 2008 roku na oficjalnej stronie internetowej formacji ukazała się informacja, że grupa „po cichu, ale na pewno, pracuje nad nowym albumem. Data wydania nie została co prawda ustalona, ale każdy dzień przybliża ten moment”. W trakcie koncertów w 2009 roku Múm zaczęli grać już utwory z nadchodzącego wydawnictwa. Premiera najnowszej płyty, „Sing Along to Songs You Don't Know”, została zapowiedziana na koniec sierpnia tego samego roku.